Rata-rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik

March 23, 2014 by · 1 Comment 

Pagi ini saya menemukan sepasang kata baru dalam bahasa Inggris: geometric mean, yang dalam bahasa Indonesia diartikan sebagai rata-rata geometrik. Saya lalu mencari arti rata-rata geometrik ini dan menemukan bahwa rerata geometrik merupakan salah satu dari 3 macam rata-rata Pythagorian.

Ketiga rata-rata Pythagorian tersebut beserta definisinya adalah:
1. Rata-rata aritmatik

\displaystyle A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)

2. Rata-rata geometrik
\displaystyle G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}

3. Rata-rata harmonik
\displaystyle H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

Rata-rata aritmatik mungkin sudah diperkenalkan pada bangku sekolah dasar, sedangkan kedua rata-rata lainnya, secara tidak langsung diperkenalkan di bangku pendidikan yang lebih tinggi.

Perbedaan nilai ketiganya terletak pada jenis data yang akan dicari nilai rata-ratanya. Rata-rata aritmatik dipakai untuk data-data yang umum atau general, contohnya rata-rata nilai sejumlah mahasiswa, rata-rata kedalaman sungai, atau rata-rata lama perjalanan dari kota A ke kota B.

Sedangkan rata-rata geometrik biasanya dipakai untuk data yang memiliki kualitas/berat (weight) yang berbeda di antara data-data tersebut. Umumnya data-data ini memiliki nilai batas minimum dan maksimum. Contohnya sekolah A memiliki range nilai siswa 0-100, sedangkan sekolah B memiliki range nilai 0-80. Jika kita ingin mencari nilai rata-rata siswa kedua sekolah tersebut, rata-rata aritmatika tidak akan bisa digunakan karena bobot nilai sekolah A akan memberikan nilai yang lebih besar dibanding sekolah B. Untuk kasus seperti ini, rerata geometrik umum digunakan.

Rata-rata harmonik digunakan untuk data yang berupa rate atau rasio. Contohnya adalah kecepatan (jarak per waktu), debit air (volume per waktu), tekanan (gaya per luas), dan data lainnya yang memiliki satuan rate. Misalkan mobil 1 berjalan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 80 km/jam. Kemudian mobil 2 dengan jarak yang sama, dari kota A ke kota B, berjalan dengan kecepatan 60 km/jam. Rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah 68,57 km/jam dihitung dengan menggunakan rerata harmonik. Dalam kasus ini, nilai yang tetap adalah jarak. Jika nilai yang tetap adalah waktu, misalkan mobil 1 dan mobil 2 berjalan dalam waktu 1 jam dan jarak yang ditempuh berbeda, maka rata-rata kecepatan mobil dihitung dengan rerata aritmatik yang nilainya adalah 70 km/jam.

Dari ketiga rerata Pythagorian di atas, nilai yang paling kecil adalah rerata harmonik dan yang paling besar nilainya adalah rata-rata aritmatik, bisa dituliskan

\displaystyle H \leq G \leq A
.
Fungsi rerata lainnya adalah rata-rata Quadratik yang biasanya menangani data-data yang nilainya positif dan negatif.

Tanggal yang Sama di Tahun Depan

October 11, 2013 by · Leave a Comment 

Hari ini adalah hari Jumat tanggal 11 Oktober 2013. Kira-kira tahun depan tanggal yang sama, 11 Oktober, hari apa ya?

Dulu waktu saya masih duduk di bangku SMP, setiap kali saya berulang tahun, saya selalu berpikir: tahun depan ulang tahunku hari apa ya? Itulah pertanyaan iseng yang mungkin sebagian orang pernah pikirkan. Saya pun melakukan hitung-hitungan sederhana. Solusinya pun ternyata sangat sederhana dan bisa dipraktekkan langsung.

Dalam 1 tahun, bukan tahun kabisat seperti tahun 2013, ada 365 hari yang dibagi ke dalam 12 bulan. Dalam 1 minggu terdapat 7 hari. Karena penamaan Senin hingga Minggu dilakukan dalam 7 hari, maka kita akan melakukan perhitungan hari dan minggu.

365 \; mod \; 7 \equiv 1\:

Perhitungan di atas menunjukkan sisa dari 365 dibagi 7 adalah 1. Artinya, dalam 1 tahun non kabisat akan ada kelebihan sisa 1 hari dalam tanggal yang sama di tahun depan. Dengan demikian, untuk mencari tau hari di tanggal yang sama di tahun depan, kita tinggal memajukan 1 hari ke depan.

Contohnya, jika hari ini adalah hari Jumat tanggal 11 Oktober 2013, maka tahun depan tanggal 11 Oktober 2014 (2014 adalah tahun non-kabisat) adalah hari Sabtu. Tanggal 11 Oktober 2015 adalah hari Minggu.

Bagaimana dengan tahun kabisat seperti tahun 2016? Khusus untuk tahun kabisat, kita harus memajukan 2 hari karena 1 tahun kabisat berjumlah 366 hari.

366 \; mod \; 7 \equiv 2

Dengan demikian, tanggal 11 Oktober 2016 akan jatuh pada hari Selasa :).

Rumus Tali Sepatu

October 2, 2013 by · 2 Comments 

Referensi utama: http://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula

Nama aslinya adalah Shoelace Formula atau jika diterjemahkan ke dalam bahasa Indonesia menjadi formula tali sepatu atau rumus tali sepatu. Rumus ini biasa digunakan untuk mencari luasan suatu area yang dibatasi oleh titik-titik yang membentuk sebuah poligon (banyak sisi). Para surveyor lapangan biasa menggunakan rumus sederhana ini.

7a85364ae671f99d2aac6f5cbccda344

Menariknya, meskipun rumusnya terlihat sangat tidak menarik, implementasi rumus ini bahkan bisa diajarkan di lingkungan anak SD (Sekolah Dasar). Tidak percaya? Coba saja lihat bagian Explanation di situs Wikipedia pada link di atas. Mengutip langsung dari Wikipedia pada saat tulisan ini dibuat, misalkan sebuah segitiga dengan koordinat (2,4), (3,−8), dan (1,2). Koordinat ini bebas ditentukan dan menyesuaikan dengan koordinat titik awal 0,0.
Karena ada 3 titik, kita membuat sebuah matriks koordinat x, y seperti di bawah ini dengan koordinat paling akhir adalah koordinat paling awal. Dalam kasus ini, koordinat paling atas dan bawah adalah 2,4.

b611a73a6bfd235edb02c9df3f124079

Lalu kita membuat sebuah garis diagonal dari kiri ke kanan seperti gambar di bawah ini kemudian mengalikan bilangan-bilangan yang berpasangan lalu menjumlahkannya: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6

ShoelaceMatrix2

Dengan cara yang sama, buatlah pasangan diagonal dari kanan ke kiri seperti gambar di bawah ini lalu mengalikan bilangan-bilangan tersebut dan menjumlahkannya: (4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8

ShoelaceMatrix3

Perhatikan gambar di atas mirip dengan bentuk tali sepatu 🙂

Dengan demikian luas area segitiga adalah hasil yang diperoleh dari perhitungan pertama dikurangi dengan hasil yang kedua lalu dibagi 2: |-6 – 8|/2 = 14/2 = 7.

Menghitung Diameter Saluran Pipa

September 5, 2013 by · Leave a Comment 

Ini adalah salah satu pertanyaan random ujian masuk ke SMA saya dulu, hanya angka-angkanya saja yang diganti. Bayangkan saya mempunyai sebuah pipa seperti gambar di bawah ini.

 Pipa

Misalkan kedalaman air di dalam pipa (t2) adalah 50 cm. Lebar air (m1+m2) adalah 3 meter. Berapakah diameter saluran pipa?

Soal ini bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus yang dipelajari di SMP. Jika ada sebuah lingkaran dan 2 buah garis sembarang di dalam nya, maka hasil kali nilai sisi-sisi yang berseberangan oleh titik potong kedua garis adalah sama.

t_1 * t_2 = m_1 * m_2

Dalam soal di atas m1 = m2, maka:

  t_1 * t_2 = m_1 * m_2
t_1 * 0.5 = 1.5 * 1.5
t_1 = 4.5

Dengan demikian tinggi pipa (t1+t2) adalah 0,5 m + 4.5 m = 5 meter.

Next Page »